一直很好奇为什么按五度循环圈，相邻调号，第n+1调是第n调升4音，第n-1调是第n调降7音。为什么偏偏是4音和7音，这究竟有什么数学上的必然性？

现阶段我无法用数学证明，但能想出一个似乎能解释这个问题的方式。

从大调音阶入手，音程关系是全全半全全全半。12个音像是被分成了5+7两组，5由1、1#、2、2#和3组成；7由4、4#、5#、5、6、#6、7组成。

全全半和全全全半其实长得很像，如果更改一个音即可让音程关系变成全全全半全全半，这样的话，从4级或者5级开始的音阶又会是新的大调音阶。

而让全全半与全全全半互换的方式有两种，比如5那一组，增加b7，使得b7跟1之间形成大二度，这样b7、1、2、3、4构成全全全半，而4、5、6、b7构成全全半。最后，这样的音程关系决定了大调音阶从4开始。

相应的，如果增加4#，可以使得3和4#之间构成大二度，这样1、2、3、4#、5构成全全全半，而5、6、7、1构成全全半。最后音程关系决定了新的大调音阶从5开始。